Cosa sono i numeri irrazionali?
I numeri irrazionali sono numeri che non possono essere espressi come frazioni semplici, come 1/2 o 3/4. Se vengono scritti in forma decimale, la loro rappresentazione è infinita e non periodica, ovvero le cifre dopo la virgola si susseguono senza alcuno schema di ripetizione. Un esempio è la radice quadrata di tre (√3), che è approssimativamente uguale a 1,7320508075… e così via, senza mai terminare.
I numeri irrazionali vanno oltre la semplice aritmetica e aprono la strada concetti matematici più complessi. Nonostante ciò, si ritrovano in numerosi ambiti: dalla lunghezza della diagonale di un quadrato alle proporzioni nelle opere d’arte.
Proprietà
I numeri irrazionali possiedono diverse proprietà distintive:
- La somma di un numero irrazionale e un numero razionale è sempre un numero irrazionale. Ad esempio, se si aggiunge 1 a √2, il risultato sarà ancora un numero irrazionale.
- Il prodotto di un numero irrazionale per un numero razionale (diverso da zero) è sempre un numero irrazionale. Ad esempio, moltiplicando π per 2, il risultato rimane un numero irrazionale.
- La somma o il prodotto di due numeri irrazionali può essere sia un numero irrazionale sia uno razionale. Ad esempio, sommando √2 e -√2 si ottiene 0, che è un numero razionale. Invece, sommando √2 e √3, il risultato sarà ancora un numero irrazionale.
I numeri irrazionali non hanno un valore finale. Nei calcoli vengono spesso arrotondati in decimali perché il numero non può essere scritto per intero.
Differenza tra numeri razionali e irrazionali
I numeri razionali possono essere espressi come frazioni, ossia come rapporto tra due numeri interi. Ad esempio, 1/2, 3/4 o 5, che può essere scritto come 5/1. La loro principale differenza rispetto ai numeri irrazionali risiede nella loro rappresentazione decimale. Se scritti in forma decimale, quelli razionali terminano dopo un certo numero di cifre (ad esempio, 3/4 = 0,75), oppure presentano una sequenza di cifre che si ripete all’infinito (ad esempio, 1/3 = 0,333…).
Quelli irrazionali, invece, non seguono queste regole: la loro rappresentazione decimale è infinita e non mostra alcuno schema di ripetizione.
Esempi di numeri irrazionali
I numeri irrazionali sono molto diffusi e alcuni sono noti anche a chi non si occupa di matematica.
- Il numero π (pi greco). È uno dei numeri irrazionali più conosciuti e rappresenta il rapporto tra la lunghezza della circonferenza di un cerchio e il suo diametro. Viene utilizzato, ad esempio, per calcolare l’area di un cerchio. Il suo valore inizia con 3,14159… e continua all’infinito.
- Il numero di Eulero (e). Compare nei logaritmi e nella descrizione della crescita esponenziale. Il suo valore è approssimativamente pari a 2,71828…
- Il rapporto aureo (φ). È una proporzione matematica in cui la parte maggiore sta alla minore come l’intero sta alla parte maggiore. Questa proporzione si trova frequentemente in architettura, natura e arte. Il suo valore è approssimativamente pari a 1,61803…
Numeri irrazionali in geometria
I numeri irrazionali svolgono un ruolo fondamentale in geometria. Compaiono nelle formule che descrivono lunghezze, aree e altre proprietà delle figure geometriche.
- Diagonale di un quadrato. Se un quadrato ha lato di lunghezza 1, la sua diagonale misura √2. Poiché questo numero non può essere espresso come frazione, è irrazionale.
- Circonferenza. La formula per calcolare la lunghezza di una circonferenza contiene il numero π, che è irrazionale. Ad esempio, la lunghezza della circonferenza è data da 2πr, dove r è il raggio.
- Rapporto aureo. Questo numero irrazionale gioca un ruolo chiave nelle proporzioni di alcuni poligoni regolari, come i pentagoni e le stelle.
